Критерий Уилкоксона для связанных выборок (также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) – непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух связанных (парных) выборок по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.

Суть метода состоит в том, что сопоставляются абсолютные величины выраженности сдвигов в том или ином направлении. Для этого сначала все абсолютные величины сдвигов ранжируются, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в ту или иную сторону происходят случайно, то и суммы их рангов окажутся примерно равны. Если же интенсивность сдвигов в одну сторону больше, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

1. История разработки критерия Уилкоксона

Тест был впервые предложен в 1945 году американским статистиком и химиком Фрэнком Уилкоксоном (1892-1965). В той же научной работе автором был описан еще один критерий, применяемый в случае сравнения независимых выборок.

Фрэнк Уилкоксон

2. Для чего используется T-критерий Уилкоксона?

Т-критерий Уилкоксона используется для оценки различий между двумя рядами измерений, выполненных для одной и той же совокупности исследуемых, но в разных условиях или в разное время. Данный тест способен выявить направленность и выраженность изменений — то есть, являются ли показатели больше сдвинутыми в одном направлении, чем в другом.

Классическим примером ситуации, в которой может применяться Т-критерий Уилкоксона для связанных совокупностей, является исследование «до-после», когда сравниваются показатели до и после лечения. Например, при изучении эффективности антигипертензивного средства сравнивается артериальное давление до приема препарата и после приема.

3. Условия и ограничения применения Т-критерия Уилкоксона

1. Критерий Уилкоксона является непараметрическим критерием, поэтому, в отличие от парного t-критерия Стьюдента, не требует наличия нормального распределения сравниваемых совокупностей.
2. Число исследуемых при использовании T-критерия Уилкоксона должно быть не менее 5.
3. Изучаемый признак может быть измерен как в количественной непрерывной (артериальное давление, ЧСС, содержание лейкоцитов в 1 мл крови), так и в порядковой шкале (число баллов, степень тяжести заболевания, степень обсемененности микроорганизмами).
4. Данный критерий используется только в случае сравнения двух рядов измерений. Аналогом Т-критерия Уилкоксона для сравнения трех и более связанных совокупностей является Критерий Фридмана.

4. Как рассчитать Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок?

1. Вычислить разность между значениями парных измерений для каждого исследуемого. Нулевые сдвиги далее не учитываются.
2. Определить, какие из разностей являются типичными, то есть соответствуют преобладающему по частоте направлению изменения показателя.
3. Проранжировать разности пар по их абсолютным значениям (то есть, без учета знака), в порядке возрастания. Меньшему абсолютному значению разности приписывается меньший ранг.
4. Рассчитать сумму рангов, соответствующих нетипичным сдвигам.

Таким образом, Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок рассчитывается по следующей формуле:

T = ΣRr

где ΣRr — сумма рангов, соответствующих нетипичным изменениям показателя.

5. Как интерпретировать значение критерия Уилкоксона?

Полученное значение T-критерия Уилкоксона сравниваем с критическим по таблице для избранного уровня статистической значимости (p=0.05 или p=0.01) при заданной численности сопоставляемых выборок n:

• Если расчетное (эмпирическое) значение Т_эмп. меньше табличного Т_кр. или равно ему, то признается статистическая значимость изменений показателя в типичную сторону (принимается альтернативная гипотеза). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение Т.
• Если Т_эмп. больше Т_кр., принимается нулевая гипотеза об отсутствии статистической значимости изменений показателя.

6. Пример расчета критерия Уилкоксона для связанных выборок

Фармацевтической компанией проводится исследование нового препарата из группы нестероидных противовоспалительных средств. Для этого отобрана группа из 10 добровольцев, страдающих ОРВИ с гипертермией. У них была измерена температура тела до и через 30 минут после приема нового препарата. Требуется сделать вывод о значимости снижения температуры тела в результате приема препарата.

Исходные данные оформлены в виде следующей таблицы:

N	Фамилия	t тела до приема препарата	t тела после приема препарата
1.	Иванов	39.0	37.6
2.	Петров	39.5	38.7
3.	Сидоров	38.6	38.7
4.	Попов	39.1	38.5
5.	Николаев	40.1	38.6
6.	Козлов	39.3	37.5
7.	Игнатьев	38.9	38.8
8.	Семенов	39.2	38.0
9.	Егоров	39.8	39.7
10.	Алексеев	38.8	39.3

Для расчета Т-критерия Уилкоксона рассчитаем разности парных показателей и проранжируем их абсолютные значения. При этом нетипичные ранги выделим жирным шрифтом:

N	Фамилия	t тела до приема препарата	t тела после приема препарата	Разность показателей, d	|d|	Ранг
1.	Иванов	39.0	37.6	-1.4	1.4	7
2.	Петров	39.5	38.7	-0.8	0.8	5
3.	Сидоров	38.6	38.7	0.1	0.1	1.5
4.	Попов	39.1	38.5	-0.6	0.6	4
5.	Николаев	40.1	38.6	-1.5	1.5	8
6.	Козлов	39.3	37.5	-1.8	1.8	9
7.	Игнатьев	38.9	38.8	-0.1	0.1	1.5
8.	Семенов	39.2	38.0	-1.2	1.2	6
9.	Егоров	39.8	39.8	0	—	—
10.	Алексеев	38.8	39.3	0.5	0.5	3

Как мы видим, типичным сдвигом показателя является его снижение, отмеченное в 7 случаях из 10. В одном случае (у пациента Егорова) — температура после приема препарата не изменилась, в связи с чем данный случай не использовался в дальнейшем анализе. В двух случаях (у пациентов Сидорова и Алексеева) отмечался нетипичный сдвиг температуры в сторону повышения. Ранги, соответствующие нетипичному сдвигу, равны 1.5 и 3.

Рассчитаем Т-критерий Уилкоксона, который равен сумме рангов, соответствующих нетипичному сдвигу показателя:

T = ΣRr = 3 + 1.5 = 4.5

Сравниваем Т_эмп. с Т_кр., который при уровне значимости p=0.05 и n=9 равен 8. Следовательно, Т_эмп.<T_кр., изменения показателя статистически значимы при p<0.05.

Делаем вывод: снижение температуры тела у пациентов с ОРВИ в результате приема нового препарата является статистически значимым (р<0.05).

Таблица критических значений T-критерия Уилкоксона

Число исследуемых, n	p=0.05	p=0.01
5	0	—
6	2	—
7	3	0
8	5	1
9	8	3
10	10	5
11	13	7
12	17	9
13	21	12
14	25	15
15	30	19
16	35	23
17	41	27
18	47	32
19	53	37
20	60	43
21	67	49
22	75	55
23	83	62
24	91	69
25	100	76
26	110	84
27	119	92
28	130	101
29	140	110
30	151	120
31	163	130
32	175	140
33	187	151
34	200	162
35	213	173
36	227	185
37	241	198
38	256	211
39	271	224
40	286	238
41	302	252
42	319	266
43	336	281
44	353	296
45	371	312
46	389	328
47	407	345
48	426	362
49	446	379
50	466	397